Tìm n số nguyên dương có tổng bằng tích (n≥3)

Trước hết ta chứng minh rằng trong n số ấy phải có đúng (n-2) số bằng 1, thật vậy:

• Nếu có tới (n-1) số bằng 1 hoặc cả n số bằng 1 thì dễ thấy đều không thỏa mãn tổng bằng tích.
  

• Nếu có ít hơn (n-2) số bằng 1 .

Vậy thì tồn tại 3 số ≥ 2.

Xét mệnh đề P(n) với n≥3 phát biểu như sau:

Nếu chọn ra bất kỳ n số nguyên dương x[1], x[2], …, x[n] sao cho tồn tại 3 số đều ≥ 2 thì ta luôn có: x[1] + x[2] + … + x[n] < x[1] * x[2] * … * x[n]

Ta sẽ chứng minh P(n) đúng với mọi n≥3 bằng quy nạp.

Với n = 3 thì ko mất tính tổng quát: x[1] ≥ x[2] ≥ x[3] ≥ 2 có thể xem là x ≥ y ≥ z ≥ 2 cho dễ viết, ta có:

x(yz – 1) ≥ x(2.2 – 1) = 3x > 2x = x + x ≥ y + z hay x + y + z < xyz

Vậy P(3) đúng, giờ giả sử có P(k) đúng với k ≥ 4, ta phải chứng minh P(k+1) cũng đúng, tức là chứng minh:

x[1] + x[2] + … + x[k] + x[k+1] < x[1] * x[2] * … * x[k] * x[k+1] với mọi x[i] (i=1 đến k+1) nguyên dương và có 3 số đều ≥ 2

Từ (5) suy ra để chứng minh (4) ta cần chứng minh:

a[1] * a[2] * … * a[n] + a[n+1] < a[1] * a[2] * … * a[n] * a[n+1] (6)

Do (2) nên a[n – 1] ≥ a[n] ≥ a[n+1] ≥ 2 (7), chia cả 2 vế của (6) cho a[1]*a[2]*…*a[n] ta có (6) tương đương với:

1 + a[n+1] / (a[1] * a[2] * … * a[n]) < a[n+1] đặt là 1 + A < a[n+1]

Do (7) nên A < 1 dẫn đến 1 + A < 2 mà a[n+1] ≥ 2 suy ra 1 + A < a[n+1]

Vậy (6) đúng và giả thiết quy nạp là đúng.

Khi trong n số ấy có đúng (n-2) số bằng 1, ta viết lại (1):

n – 2 + x + y = x * y <=> (x-1)(y-1) = (n-1)

Kết luận: công thức nghiệm tổng quát là: (n-2) số 1, k + 1, ((n-1) / k) + 1 với k là ước số nguyên dương của (n-1).